Model ARCH-GARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedastic-Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic))

Karakteristik Data Runtut Waktu

Data-data runtut waktu memiliki korakteristik yang berbeda, menurut Enders (2004) berdasarkan karakteristiknya data runtut dapat dikelompokkan menjadi lima, yaitu:

1.      Data Trend, yaitu data yang memiliki trend naik atau trend turun (upward sloping/downward sloping) yang jelas untuk jangka panjang.

2.      Data Meander, yaitu data yang untuk jangka panjang relatif datar dan tidak ada kecenderungan naik atau turun.

3.      Data Persistence, yaitu data yang berubah dari karateristik aslinya untuk jangka waktu yang lama, misalnya data yang tadinya memiliki karateristik meander tetapi berubah menjadi data trend untuk jangka waktu dua tahun dan baru setelah itu kembali lagi ke data meander.

4.      Data Volatilitas, yaitu data yang tidak konstan sepanjang waktu. Data volatilitas juga bisa disebut conditionally heteroskedastic jika uncondicional variance konstan untuk jangka waktu lama tetepi ada periode-periode dimana variance relatif tinggi.

5.      Data Comovements, yaitu dua data runtut waktu yang memiliki pola yang relative sama untuk jangka panjang.

Perilaku Data Runtut Waktu dan Model Ekonometri

Asumsi Varian Konstan dan Estimasi Ordinary Least Squared

Model ekonometrik konvensional mengasumsikan bahwa varian dari disturbance term bersifat konstan. Kenyataannya banyak data runtut waktu mengalami periode-periode dimana volatilitas tinggi dan kemudian diikuti oleh periode yang relatif stabil. Jika kondisi ini terjadi maka asumsi varian konstan tidak terpenuhi. 

            Menurut Enders (2004) Estimasi varian kondisional data runtut waktu diperlukan untuk analisis jangka panjang, sedangkan untuk analisis jangka pendek tidak diperlukan. Seorang pemegang saham memerlukan perkiraan tingkat return saham dan variannya selama periode dia memegang saham, tetapi jika dia hanya melakukan transaksi jangka pendek (beli pada waktu t dan jual t+1), maka tidak diperlukan estimasi varian.

            Menambahkan variabel independen ke dalam model adalah suatu pendekatan untuk estimasi varian. Contoh model tingkat suku bunga berikut menjelaskan bagaimana varian diestimasi:

y_t+1=e_t+1x_t ...............................................................................................(1)

Dimana:

y_t+1 = variabel tingkat suku bunga

e_t+1 = white noise disturbance term dengan variance s²

x_t  = variabel independen tertentu  pada waktu t

Jika x_t = x_t-1 = x_t-2 = … = konstan, maka rangkaian data runtut waktu  y_t mengikuti proses white-noise dengan varian konstan. Jika realisasi rangkaian data runtut waktu (x_t) tidak sama, maka varian kondisional rangkaian data runtut waktu y_t+1 untuk rangkaian data runtut waktu (x_t) adalah :

Var(y_t+1çx_t) = x_t²s² .................................................................................(2)

Besar kecilnya varian kondisional dari y_t+1 tergantung dengan nilai sesungguhnya dari x_t. Karena nilai x_t pada waktu t dapat diobservasi maka varian kondisional y_t+1 atas realisasi nilai x_t dapat dihitung. Pada saat nilai (x_t)² besar (kecil) maka varian kondisional y_t+1 juga besar (kecil).

            Jika nilai data runtut waktu x_t yang memiliki korelasi serial positif (nilai x_t yang tinggi cenderung akan diikuti oleh nilai yang tinggi juga pada x_t+1), maka nilai varian kondisional y_t+1 akan memiliki korelasi serial yang positif juga, oleh karena itu rangkaian data runtut waktu (x_t) dapat menjelaskan periode volatilitas yang terjadi pada rangkaian data (y_t).

            Untuk keperluan estimasi, koefisien a₀ dan a₁ dimasukkan ke persamaan (2) diatas dan didapat model estimasi sebagai berikut:

ln(y_t) = a_{0 +} a₁ ln(x_t-1) + e_t .....................................................................(3)

Dimana e_t  = error term

Persamaan (3) tersebut dapat diestimasi dengan OLS (ordinary least square) untuk mendapatkan nilai a₀ dan a₁ dengan asumsi error term (e_t) memiliki varian konstan. Jika asumsi varian konstan tidak terpenuhi maka diperlukan transformasi data atau diestimasi dengan model yang tidak mensyaratkan varian konstan, Enders (2004).

Varian Tidak Konstan dan Model ARCH-GARCH

Engle (1982) menggunakan model simultan mean dan varian untuk menyelesaikan masalah tidak terpenuhinya asumsi varian konstan. Untuk memahami metodologi yang diperkenalkan Engle ini dapat dijelaskan melalui contoh model ARMA stasioner  y_t = a_{0 +} a₁y_t-1 + e_t yang digunakan untuk meramalkan y_t+1. Ramalan kondisional y_t+1 adalah:

E_ty_t+1 = a_{0 +} a₁y_t .....................................................................................(4)

Jika digunakan rata-rata kondisional untuk meramalkan y_t+1, maka ramalan varian error-nya adalah:

E_t[( y_t+1 - a_{0 +} a₁y_t)²] = E_t(e_t+1)² =  s² ....................................................(5)

Untuk unconditional forecast maka nilai ramalan y_t+1 adalah rata-rata jangka panjang dari y_t yang nilainya sama dengan a₀/(1- a₁) dengan ramalan unconditional forecast error variance sebagai berikut:

E_t{[y_t+1 - a₀/(1- a₁)]² } = E[(e_t+1 + a₁² e_{t +} a₁e_t-1 + a₁³ e_t-2 + ...)²] ..........(6)

                                                  = s²/ (1- a₁²)

1/(1-a₁²)>1, maka unconditional forecast memiliki varian yang lebih besar dibandingkan conditional forecast. Conditional forecast lebih baik dibandingkan unconditional forecast dikarenakan nilai saat ini dan nilai masa lalunya diketahui.

            Dengan pendekatan yang sama, jika varian dari {e_t} tidak konstan maka pergerakan varian dapat diestimasi dengan model ARMA. Misalkan { } adalah nilai estimasi dari model y_t = a_{0 +} a₁y_t-1 + e_t, maka varian kondisional dari y_t+1 adalah:

Var(y_t+1çy_t) = E_t[(y_t+1 - a₀ - a₁y_t)²] ........................................................(7)

                   = E_t

 sama dengan s², jika varian kondisional tidak konstan maka model estimasinya  dapat dirumuskan sebagai kuadrat dari nilai estimasi residual yang pengikuti proses AR(q) seperti berikut ini:

 

Dimana v_t = white noise

Persamaan (8) diatas adalah model ARCH (autoregressive conditional heteroskedastic) yang dikembangkan oleh Engle (1982). Model ARCH tidak hanya bisa diterapkan untuk model ARMA tetapi juga dapat diterapkan pada model regresi standar. Model standar ARCH ini dapat juga dikembangkan lagi menjadi model higher order ARCH (q) berikut:

 

            Pada model (9) ini semua shock dari e_t-1 sampai e_t-q mempunyai pengaruh langsung terhadap e_t, oleh karena itu varian kondisional berperilaku seperti proses autoregressive order q. Bollerslev (1986) melanjutkan model Engle (1982) dengan mengembangkan pendekatan yang memungkinkan varian kondisional mengikuti proses ARMA.  Untuk memahami model Bollerslev, digunakan model error berikut:

 

Dimana , dan 

 

Karena {v_t} adalah proses white noise yang independen terhadap realisasi masa lalu e_t-i, maka rata-rata kondisional dan unconditional dari e_t sama dengan nol, maka nilai harapan dari e_t dapat dirumuskan:

 

Poin penting dari persamaan (12) adalah bahwa varian kondisional dari e_t yang berasal dari 

Persamaan (11) adalah model generalized ARCH(p,q) atau GARCH(p,q) yang memperbolehkan adanya komponen autoregressive dan moving average dalam varian heteroskedastisitas. Jika p=0 dan q=1 atau GARCH(0,1) sama dengan model ARCH order pertama pada persamaan (9). Jika semua nilai β_i sama dengan nol, maka model GARCH(p,q) ekuivalen dengan model ARCH(q).

Ciri-ciri model GARCH adalah bahwa varian kondisional dari disturbance rangkaian data runtut waktu y_t mengikuti proses ARMA. Ada tidaknya varian kondisional dapat dijelaskan dari pola residual hasil estimasi model ARMA. Jika tidak ada varian kondisional maka nilai ACF dan PACF residual dari model akan mengindikasikan mengikuti proses white-noise. ACF dari residual kuadrat dapat digunakan untuk mengidentifikasi order proses GARCH. 

lanjut ke posting berikutnya "Tahapan Identifikasi Proses ARCH-GARCH"